Question

【题目】如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面四边形ABCD为菱形，AB=2，BD=2 ，M，N分别是线段PA，PC的中点． （Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线MN与BC所成角的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：连结AC，交BD于点O，
∵M，N分别是PA，PC的中点，∴MN∥AC，
∵MN平面ABCD，AC平面ABCD，
∴MN∥平面ABCD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知∠ACB是异面直线MN与BC所成的角或其补角，
∵四边形ABCD是菱形，AB=2，BO= ，
∴∠OCB=60°，
∴异面直线MN与BC所成的角为60°．
【解析】（Ⅰ）连结AC，交BD于点O，由已知得MN∥AC，由此能证明MN∥平面ABCD．（Ⅱ）由已知得∠ACB是异面直线MN与BC所成的角或其补角，由此能求出异面直线MN与BC所成的角．
【考点精析】解答此题的关键在于理解异面直线及其所成的角的相关知识，掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系，以及对直线与平面平行的判定的理解，了解平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．