Question

【题目】已知椭圆的两个焦点为， 是椭圆上一点，若， .

（1）求椭圆的方程；

（2）直线过右焦点（不与轴重合）且与椭圆相交于不同的两点，在轴上是否存在一个定点，使得的值为定值？若存在，写出点的坐标（不必求出定值）；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）-.

【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于 、 、的方程组，结合性质 ， ，求出 、 、，即可得结果；；（2）设直线方程为 与椭圆方程联立，设出 点坐标，根据韦达定理及平面向量数量积公式将用 表示，进而可得结果.

试题解析：（1）由题意:c=,||2+||2=(2c)2=20 ||·||=8

∴(||+||)2=||2+||2+2||·||=36 解得: ||+||=6

2a=6 ∴a=3 b2=a2-c2=4

∴椭圆的方程为: + =1

(2)解法一:设直线l的方程为:x=my+

代入椭圆方程并消元整理得:(4m2+9)x2-18x+45-36m2=0…………………①

设A(x1,y1),B(x2,y2),则是方程①的两个解,由韦达定理得:

x1+x2=, x1x2= y1y2= (x1-)(x2-)= ( x1x2- (x1+x2)+5)=

·=(x1-x0,y1) ·(x2-x0,y2)=( x1-x0)( x2-x0)+ y1y2= x1x2- x0(x1+x2)+x02+ y1y2

=- x0+x02+=

令·=t 则(4x02-36)m2+9x02-18x0+29= t(4m2+9)

比较系数得:4x02-36=4t且9x02-18x0+29=9t 消去t得:

36x02-36×9=36x02-72x0+29×4 解得:x0=

∴在x轴上存在一个定点P(,0)，使得·的值为定值(-);

解法二:当直线与x轴不垂直时,设直线l方程为:y=k(x-),代入椭圆方程并消元整理得:

(9k2+4)x2-18k2x+45k2-36=0………………①

设A(x1,y1),B(x2,y2),则是方程①的两个解,由韦达定理得:

x1+x2=, x1x2= y1y2=k2(x1-)(x2-)=k2( x1x2- (x1+x2)+5)=

·=(x1-x0,y1) ·(x2-x0,y2)=( x1-x0)( x2-x0)+ y1y2= x1x2- x0(x1+x2)+x02+ y1y2

=

令·=t 则(9x02-18x0+29)k2+4x02-36= t(4+9k2)

9x02-18x0+29=9 t且 4x02-36=4t

解得:x0= 此时t的值为-

当直线l与x轴垂直时,l的方程为:x=,代入椭圆方程解得:A(,-),B(,)

·=(-,-)·(-,)=-=-

∴当直线l与x轴垂直时,·也为定值-

综上, 在x轴上存在一个定点P(,0)，使得·的值为定值(-)