Question

【题目】已知椭圆E： （a＞b＞0）的上顶点为P（0，1），过E的焦点且垂直长轴的弦长为1．若有一菱形ABCD的顶点A、C在椭圆E上，该菱形对角线BD所在直线的斜率为﹣1．
（1）求椭圆E的方程；
（2）当直线BD过点（1，0）时，求直线AC的方程；
（3）当∠ABC= 时，求菱形ABCD面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意，b=1，

解 ，得|y|= ，

所以 ，a=2，

椭圆E的方程为

（2）解：直线BD：y=﹣1×（x﹣1）=﹣x+1，

设AC：y=x+b，

由方程组 得 ，

当 时，

A（x1，y1），C（x2，y2）的中点坐标为 =﹣ ， ，

ABCD是菱形，所以AC的中点在BD上，所以

解得 ，满足△=5﹣b2＞0，所以AC的方程为y=x﹣

（3）解：因为四边形ABCD为菱形，且 ，所以AB=AC=BC，所以菱形ABCD的面积 ，

由（2）可得AC2=（x2﹣x1）2+（y2﹣y2）2=2，

AC2=（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2=2（x2﹣x1）2=2（x2+x1）2﹣8x1x2=2× = ，

因为 ，所以当且仅当b=0时，菱形ABCD的面积取得最大值，最大值为

【解析】（1）依题意，b=1，解 ，得|y|= ，所以 ，由此能求出椭圆E的方程．（2）直线BD：y=﹣1×（x﹣1）=﹣x+1，设AC：y=x+b，由方程组 得 ，再由根的判别式、中点坐标公式和菱形的性质能推导出AC的方程．（3）因为四边形ABCD为菱形，且 ，所以AB=AC=BC，所以菱形ABCD的面积 ，由AC2=（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2=2（x2﹣x1）2=2（x2+x1）2﹣8x1x2= ，能推导出当且仅当b=0时，菱形ABCD的面积取得最大值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用一般式方程和椭圆的标准方程的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A，B不同时为0）；椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．