Question

【题目】有9名学生在同一间教室参加一次数学竞赛，座位排列成3行3列，用的方格棋盘表示，其中，每个方格代表一个座位为了避免舞弊，采用A、B、C三种类型的试卷，要使任何两个相邻的座位（有公共边的两个方格）发放的试卷类型不同．则符合条件的发放试卷的方法共有________种．

Answer 1

【答案】246

【解析】

用表示位于第i行第j列的方格，先考虑发放A型试卷的方法数．

令，．

考虑M中的格上试卷的类型，有如下几种情形．

（1）都是B型试卷，此时，M中的格上试卷有唯一发放方法，N中的格上试卷都有2种发放方法，共有种发放方法．

（2）都是C型试卷，同（1），共有种发放方法．

（3）有1格是B型试卷，3格是C型试卷（如图），此时，M中选择一格发放B型试卷，有4种方法，M中其他格上试卷有唯一发放方法，N中的格上试卷都有种发放方法，共有种放方法．

（4）有1格是C型试卷，3格是B型试卷，同（3），共有种发放方法．

（5）有2格是B型试卷，2格是C型试卷，此时，若2个发放B型试卷的格同行（或列）（如图（甲）），则在M中选择发放B型试卷的格有2种方法，M中其他格上试卷有唯一发放方法，N中的格上试卷只有唯一发放方法，共有2种发放方法；若2个发放B型试卷的格不同行也不同列（如图（乙）），则在M中选择发放B型试卷的格有4种方法，M中其他格上试卷有唯一发放方法，N中的格上试卷有种发放方法，共有种发放方法．于是，此种情况共有种发放方法．

由对称性，所有符合要求的发放试卷的方法数为种．