Question

已知函数．
（Ⅰ）若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；
（Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围，并且判断代数式的大小．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

解析试题分析：（Ⅰ）先对函数求导，求出函数的极值，根据函数在区间上存在极值，
所以 从而解得（Ⅱ）不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，根据不等式的性质比较的大小．
试题解析：
解：（Ⅰ）因为，，则，         （1分）
当时，；当时，.
所以在上单调递增；在上单调递减，
所以函数在处取得极大值.                  （2分）
因为函数在区间上存在极值，
所以 解得                  （4分）
（Ⅱ）不等式即为 记，
所以.          （5分）
令，则，
，，
在上单调递增，
，从而，
故在上也单调递增，所以
所以.                        （7分）
由上述知恒成立，即， 
令，则，
∴ ，，， ，
，                     （9分）
叠加得
.
则，
所以．                 （12分）
考点：函数与导数，函数极值与最值，不等式恒成立问题，不等式的性质．