Question

（理）已知函数f(x)= -lnx,x∈[1,3].
(Ⅰ)求f(x)的最大值与最小值；
(Ⅱ)若f(x)＜4-At对于任意的x∈[1,3],t∈[0,2]恒成立,求实数A的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ)求f(x)的最大值为最小值为；(Ⅱ)A<.

解析试题分析：（1）直接求出函数的导数，通过导数为0，求出函数的极值点，判断函数的单调性，利用最值定理求出f（x）的最大值与最小值；
（2）利用（1）的结论，f（x）＜4-At于任意的x∈[1，3]，t∈[0，2]恒成立，转化为4-At＞对任意t∈[0，2]恒成立，通过　求实数A的取值范围．
试题解析：（1）因为函数f（x）=﹣lnx，
所以f′（x）=，令f′（x）=0得x=±2，
因为x∈[1，3]，
当1＜x＜2时  f′（x）＜0；当2＜x＜3时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（1，2）上单调减函数，在（2，3）上单调增函数，
∴f（x）在x=2处取得极小值f（2）=﹣ln2；
又f（1）=，f（3）=，
∵ln3＞1∴
∴f（1）＞f（3），
∴x=1时 f（x）的最大值为，
x=2时函数取得最小值为﹣ln2．
（2）由（1）知当x∈[1，3]时，f（x），
故对任意x∈[1，3]，f（x）＜4﹣At恒成立，
只要4﹣At＞对任意t∈[0，2]恒成立，即At恒成立
记 g（t）=At，t∈[0，2]
∴，解得A，
∴实数A的取值范围是（﹣∞，）．
考点：1、利用导数求闭区间上函数的最值；2、利用导数研究函数的单调性．