Question

【题目】如图所示，在四棱台中，底面，四边形为菱形，，.

（1）若为中点，求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

试题（1）连接，可证 ，又因为底面，可得，即可得证.

（2）如图建立空间直角坐标系，求出和平面 的一个法向量的坐标，则直线与平面所成角的正弦值.

试题解析：

（Ⅰ）∵四边形为菱形，，连结，则为等边三角形，

又∵为中点∴，由得∴

∵底面，底面∴，又∵

∴平面

（Ⅱ）∵四边形为菱形，，，

得，，∴ 又∵底面，

分别以，，为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系

、、、

∴，，

设平面的一个法向量，

则有，令，则

∴直线与平面所成角的正弦值

．

点晴：本题考查的空间的线面关系以及空间的角.第一问通过证明直线和平面内的两条相交直线垂直，证明平面；第二问中通过建立空间直角坐标系，求得和平面的一个法向量

，结合得到结论.