Question

【题目】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过原点且斜率为1的直线交椭圆于两点，四边形的周长与面积分别为12与.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线与圆相切，且与椭圆交于两点，求原点到的中垂线的最大距离.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）不妨设点是第一象限的点，由四边形的周长求出，面积求出与关系，再由点在直线上，得到与关系，代入椭圆方程，求解即可；

（2）先求出直线斜率不存在时，原点到的中垂线的距离，斜率为0时与椭圆只有一个交点，直线斜率存在时，设其方程为，利用与圆相切，求出关系，直线方程与椭圆方程联立，求出中点坐标，得到的中垂线方程，进而求出原点到中垂线的距离表达式，结合关系，即可求出结论.

（1）不妨设点是第一象限的点，

因为四边形的周长为12，所以，，

因为，所以，

得，点为过原点且斜率为1的直线与椭圆的交点，

即点在直线上，点在椭圆上，

所以，即，

解得或（舍），

所以椭圆的标准方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，直线为，

线段的中垂线为轴，原点到轴的距离为0.

当直线的斜率存在时，设斜率为，依题意可设，

因为直线与圆相切，所以，

设，，联立，

得，

由，得，又因为，所以，

所以，

所以的中点坐标为，

所以的中垂线方程为，

化简，得，

原点到直线中垂线的距离，

当且仅当，即时，等号成立，

所以原点到的中垂线的最大距离为.