Question

已知集合A={x|x²+ax+b=x}={a}．
（1）求集合A；
（2）若幂函数y=f（x）的图象经过点（a，b），求不等式f（x）≥x的解集．

Answer 1

分析：（1）根据集合和方程根之间的关系即可求集合A；
（2）利用 待定系数法求出幂函数，然后解不等式即可．

解答：解：（1）依题方程x²+ax+b=x有两个相等的实根，
即方程x²+（a-1）x+b=0有两个相等的实根a，
∴

△=(a-1)2-4b=0 2a=1-a

得a=

1

3

，b=

1

9

∴集合A={a}={

1

3

}．
（2）设幂函数f（x）=x^t，则其图象经过点(

1

3

，

1

9

)
∴

1

9

=(

1

3

)t，得t=2
∴f（x）=x²．
不等式f（x）≥x，
即x²≥x，得x≤0或x≥1，
∴不等式f（x）≥x的解集为{x|x≤0或x≥1}．

点评：本题主要考查集合的基本运算，幂函数的解析式的求法，以及不等式的解法，涉及的知识点较多．