Question

【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位：）的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费（万元）和年销售量（单位：）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.

（万元）	2	4	5	3	6
（单位：）	2.5	4	4.5	3	6

（1）根据表中数据建立年销售量关于年宣传费的回归方程；

（2）已知这种产品的年利润与，的关系为，根据（1）中的结果回答下列问题：

①当年宣传费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？

②估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.

附：问归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

参考数据：，.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①年销售量为9.1，年利润的预报值为2.25；②5万元

【解析】

（1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程.

（2）①先求得年利润关于的表达式，然后将分别代入回归直线方程和年利润的函数表达式，由此求得年销售量及年利润的预报值

②求得年利润与年宣传费的比值的表达式，利用基本不等式求得时，年利润与年宣传费的比值最大.

（1）由题意，，

，

，

.

（2）①由（1）得，

当时，，.

即当年宣传费为10万元时，年销售量为9.1，年利润的预报值为2.25.

②令年利润与年宣传费的比值为，则，.

当且仅当即时取最大值.故该公司应该投入5万元宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.