Question

【题目】已知函数

讨论函数的单调性；

当时，求函数在区间上的零点个数.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)见解析

【解析】

（1）先对函数求导，分别讨论，，即可得出结果；

（2）先由（1）得时，函数的最大值，分别讨论，，，即可结合题中条件求出结果.

解：（1） ， ，

当时，，

当时，，

当时，；当时，

当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）由（1）得，

当，即时，函数在内有无零点；

当，即时，函数在内有唯一零点，

又，所以函数在内有一个零点；

当，即时，由于，，

，

若，即时，，由函数单调性知

使得，使得,

故此时函数在内有两个零点；

若，即时，，

且，，

由函数的单调性可知在内有唯一的零点，在内没有零点，从而在内只有一个零点

综上所述，当时，函数在内有无零点；

当时，函数在内有一个零点；

当时，函数在内有两个零点．