Question

【题目】函数是实数集上的奇函数，当时，

（1）求的值和函数的表达式；

（2）求方程在上的零点个数.

Answer 1

【答案】（1）； （2）方程在上有3个零点.

【解析】

（1）利用函数的奇偶性的性质，转化求解．利用函数的奇偶性，求解函数解析式即可．
（2）因为f（2）=log22+2-3=0，所以方程f（x）=0在区间（0，+∞）上有解x=2，又方程f（x）=0可化为log2x=3-x，设函数g（x）=log2x，h（x）=3-x，证明方程g（x）=h（x）在区间（0，+∞）上只有一个解即可．又函数是实数集上的奇函数，所以方程在区间上有解，且，所以方程在上有3个零点.

（1）由题知，函数是实数集上的奇函数，

所以，即.（2分）

又函数是实数集上的奇函数，所以.（3分）

当时，所以，

所以，即.

所以;

（2）易知在区间上为增函数，

因为由零点存在定理，可知方程上有唯一解.

又函数是实数集上的奇函数，所以方程在区间上有解，

且，所以方程在上有3个零点.