Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

3

=1，则当在此椭圆上存在不同两点关于直线y=4x+m对称时m的取值范围为（　　）

• A．-

  13

  13

  ≤m≤

  13

  13

• B．-

  2 13

  13

  ＜m＜

  2 13

  13

• C．-

  13

  13

  ＜m＜

  13

  13

• D．-

  2 13

  13

  ≤m≤

  2 13

  13

Answer 1

分析：设椭圆上两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）关于直线y=4x+m对称，AB中点为M（x₀，y₀），利用平方差法与直线y=4x+m可求得x₀=-m，y₀=-3m，点M（x₀，y₀）在椭圆内部，将其坐标代入椭圆方程即可求得m的取值范围．

解答：解：∵

x2

4

+

y2

3

=1，故3x²+4y²-12=0，
设椭圆上两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）关于直线y=4x+m对称，AB中点为M（x₀，y₀），
则 3x12+4y12=12，①
3x22+4y22=12 ②
①-②得：3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，即 3•2x₀•（x₁-x₂）+4•2y₀•（y₁-y₂）=0，
∴

y1-y2

x1-x2

=-

3

4

•

x0

y0

=-

1

4

．
∴y₀=3x₀，代入直线方程y=4x+m得x₀=-m，y₀=-3m；
因为（x₀，y₀）在椭圆内部，
∴3m²+4•（-3m）²＜12，即3m²+36m²＜12，解得-

2 13

13

＜m＜

2 13

13

．
故选B．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查平方差法的应用，突出化归思想的考查，属于难题．