Question

【题目】已知圆：，椭圆：的离心率为，圆上任意一点处的切线交椭圆于两点，，当恰好位于轴上时，的面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）为定值且定值为，详见解析

【解析】

（1）根据题意，结合图形特点求解出与的长，再结合椭圆的离心率特点代换出关于的椭圆标准方程，将点坐标代入椭圆方程即可求得标准方程

（2）分两种情况进行讨论，当过点的圆的切线斜率为0或不存在时，，当斜率存在时，设切线方程为，采用解析几何方法联立切线与椭圆标准方程，得出关于两点横坐标的韦达定理，再用弦长公式表示出，最终将表达式进行化简求值即可

解：（1）由椭圆的离心率为知得，

∴椭圆的方程为.

由圆的切线性质、圆的对称性及的面积为得：，

又，∴，

设，则，，将其代入椭圆方程得，，

∴椭圆的方程为.

（2）①当过点的圆的切线斜率为0或不存在时，，

②当过点的圆的切线斜率存在且不为0时，设切线的方程为，

，，∴，即.

联立直线和椭圆的方程得：，即，

则，

设，则

,

由，解得，

∴

，

综上所述，为定值且定值为.