Question

【题目】已知函数.

（1）若在是单调函数，求的值；

（2）若对，恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出函数的导数，并求出方程的两根，，然后分、、三种情况讨论，分析在区间的符号，结合题意可得出实数的值；

（2）分、、和四种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，得出在上恒成立的等价条件为，然后在平面直角坐标系内作出可行域，利用平移直线的方法求出的取值范围.

（1），，

令，解得，．

①当时，，函数在上单调递增，在上也单调递增；

②当时，函数在上单调递增，在上单调递减，

则函数在上不是单调函数，不符合题目要求；

③当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

则函数在上不是单调函数，不符合题目要求；

综上所述，；

（2）以导函数的两个零点为界点讨论：

①当时，在上单调递增，在上恒成立；

②当时，，函数在上单调递减．在上单调递增，在上恒成立；

③当时，，函数在上单调递增，

则函数在上单调递减，在上恒成立；

④当时，函数在上单调递增，

则函数在上单调递增，在上恒成立；

综合①②③④，在上恒成立.

在平面直角坐标系中作出不等式组表示的平面区域（可行域）如下图：

设，

则，当直线经过点时，截距最大，此时最大值，由解得最优解，则.

当直线向轴负方向无限平移时，截距，此时．

所以，的取值范围是.