Question

【题目】已知函数，．

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）讨论的单调性；

（3）若有两个零点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）

【解析】

（1）先求出，再写出切线方程；（2）先求出，再通过对分类讨论的单调性；（3）对分类讨论，结合函数的图象求出的取值范围.

（1）当时，，所以，，

所以在处的切线方程为．

（2）

①时，，所以，得；，得，

所以在单调递减，在单调递增：

②时，，解得或

当时，恒成立，所以在单调递增；

当，则，故当时，；

时，，所以在单调递增，在单调递减．

当，则，故当时，；

时，，所以在单调递增，在单调递减．

（3）①设，由（2）知，在单调递减，在单调递增．

又，，所以在有一解：取且，

则，所以在有一解，

所以有两个零点；

②设，，只有一个零点；

③设，若，

由（2）知，在单调递增，又当时，，

故不存在两个零点；

若，由（2）知，在单调递增，在单调递减，又当时，，

故不存在两个零点；