Question

已知椭圆C的中心为原点O，点F（1，0）是它的一个焦点，直线l过点F与椭圆C交于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，=
（I）求椭圆C的方程；
（II）已知点P为椭圆的上顶点，且存在实数t使成立，求实数t的值和直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），则a²-b²=1，当l垂直于x轴时，A，B两点的坐标分别是（1，）和（1，-），由=（1，）•（1，-）=1-，知a²=2b⁴，由此能求出椭圆C的方程．
（II）当直线斜率不存在时，A（1，），B（1，-），P（0，1），=（1，-1），=（1，--1），=（1，-1），由t使，得直线l的方程为x=1当直线斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），A=（x₁，y₁），B=（x₂，y₂），=（x₁，y₁-1），=（x₂，y₂-1），=（1，-1），由t使+=t，得直线l的方程为y=-x+1．由此能求出结果．
解答：解：（I）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），
则a²-b²=1，①
∵当l垂直于x轴时，A，B两点的坐标分别是（1，）和（1，-），
∴=（1，）•（1，-）=1-，
则1-=，即a²=2b⁴．②
由①，②消去a，得2b⁴-b²-1=0．∴b²=1或b²=-．
当b²=1时，a²=2．因此，椭圆C的方程为．
（II）当直线斜率不存在时，A（1，），B（1，-），P（0，1），
所以=（1，-1），=（1，--1），=（1，-1），
由t使，得t=2，直线l的方程为x=1
当直线斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1），A=（x₁，y₁），B=（x₂，y₂），
所以，=（x₁，y₁-1），=（x₂，y₂-1），=（1，-1），
由t使+=t，得
，即，
因为y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1），
所以，y₁+y₂=k（x₁+x₂-2），解得：k=-1
此时，直线l的方程为y=-x+1，
联立，得3x²-4x=0，t=x₁+x₂=，
∴当直线斜率存在时，t=，直线l的方程为y=-x+1，
综上所述，存在实数t，且t=2时，直线方程x=1，
当t=1时，直线l的方程为y=-x+1．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用．