Question

【题目】对于定义域为的函数，如果存在区间，其中，同时满足：

①在内是单调函数：②当定义域为时，的值域为，则称函数是区间上的“保值函数”，区间称为“保值函数”.

（1）求证：函数不是定义域上的“保值函数”；

（2）若函数（）是区间上的“保值函数”，求的取值范围；

（3）对（2）中函数，若不等式对恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）或；（3）

【解析】

（1）根据“保值函数”的定义分析即可（2）按“保值函数”定义知，，转化为是方程的两个不相等的实根，利用判别式求解即可（3）去掉绝对值，转化为不等式组，分离参数，利用函数最值解决恒成立问题.

（1）函数在时的值域为，不满足“保值函数”的定义，

因此函数不是定义域上的“保值函数”.

（2）因为函数在内是单调增函数，

因此，，

因此是方程的两个不相等的实根，

等价于方程有两个不相等的实根.

由

解得或.

（3），

，

即为对恒成立.

令，易证在单调递增，

同理在单调递减.

因此，，

.

所以

解得.

又或，

所以的取值范围是.