Question

（2013•怀化三模）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件．若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费为（n-1）千元时多卖出

b

2n

件，（n∈N^*）．
（1）试写出销售量s与n的函数关系式；
（2）当a=10，b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？

Answer 1

分析：对于（1）中的函数关系，设广告费为n千元时的销量为s_n，则s_n-1表示广告费为（n-1）元时的销量，由题意，s_n--s_n-1=

b

2n

，可知数列{s_n}不成等差也不成等比数列，但是两者的差

b

2n

构成等比数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：一、直接列式：由题，s=b+

b

2

+

b

22

+

b

23

+…+

b

2n

=b（2-

1

2n

）
解法二、利用累差叠加法：S1-S0=

b

2

，S2-S1=

b

22

，…Sn-Sn-1=

b

2n

，累加结合等比数列的求和公式可求S_n
（2））b=4000时，s=4000（2-

1

2n

），设获利为T_n，则有T_n=s•10-1000n=40000（2-

1

2n

）-1000n，
欲使T_n最大，根据数列的单调性可得

Tn≥Tn+1 Tn≥Tn-1

，代入结合n为正整数解不等式可求n，进而可求S的最大值

解答：（1）解法一、直接列式：由题，s=b+

b

2

+

b

22

+

b

23

+…+

b

2n

=b（2-

1

2n

）（广告费为1千元时，s=b+

b

2

；2千元时，s=b+

b

2

+

b

22

；…n千元时s=b+

b

2

+

b

22

+

b

23

+…+

b

2n

）
解法二、（累差叠加法）设s₀表示广告费为0千元时的销售量，
由题：

s1-s0= b 2 s2-s1= b 22 … sn-sn-1= b 2n

，相加得S_n-S₀=

b

2

+

b

22

+

b

23

+…+

b

2n

，
即S_n=b+

b

2

+

b

22

+

b

23

+…+

b

2n

=b（2-

1

2n

）．
（2）b=4000时，s=4000（2-

1

2n

），设获利为t，则有t=s•10-1000n=40000（2-

1

2n

）-1000n
欲使T_n最大，则

Tn≥Tn+1 Tn≥Tn-1

，得

n≥5 n≤5

，故n=5，此时s=7875．
即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大．

点评：本题主要考查了数列的叠加求解通项公式，利用数列的单调性求解数列的最大（小）项，解题中要注意函数思想在解题中的应用．