Question

【题目】已知函数f（x）=ex﹣ax，其中e为自然对数的底数，a为常数．
（1）若对函数f（x）存在极小值，且极小值为0，求a的值；
（2）若对任意x∈[0， ]，不等式f（x）≥ex（1﹣sinx）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ex﹣ax，∴f′（x）=ex﹣a，

当a≤0时，f′（x）＞0，函数在R上是增函数，从而函数不存在极值，不合题意；

当a＞0时，由f′（x）＞0，可得x＞lna，由f′（x）＜0，可得x＜lna，∴x=lna为函数的极小值点，

由已知，f（lna）=0，即lna=1，∴a=e

（2）解：不等式f（x）≥ex（1﹣sinx），即exsinx﹣ax≥0，

设g（x）=exsinx﹣ax，则g′（x）=ex（sinx+cosx）﹣a，g″（x）=2excosx，

x∈[0， ]时，g″（x）≥0，则g′（x）在x∈[0， ]时为增函数，∴g′（x）=g′（0）=1﹣a．

①1﹣a≥0，即a≤1时，g′（x）＞0，g（x）在x∈[0， ]时为增函数，∴g（x）min=g（0）=0，此时g（x）≥0恒成立；

②1﹣a＜0，即a＞1时，存在x0∈[0， ]，使得g′（x0）＜0，从而x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，∴g（x）在[0，x0]上是减函数，

∴x∈（0，x0）时，g（x）＜g（0）=0，不符合题意．

综上，a的取值范围是（﹣∞，1]．

【解析】（1）求导函数，对a讨论，确定函数的单调性，利用函数f（x）存在极小值，且极小值为0，可求a的值；（2）对任意x∈[0， ]，不等式f（x）≥ex（1﹣sinx）恒成立，等价于对任意x∈[0， ]，不等式exsinx﹣ax≥0恒成立，构造新函数，分类讨论，确定函数的单调性，即可求a的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．