Question

【题目】过点P（2，0）的直线交抛物线y2=4x于A，B两点，若抛物线的焦点为F，则△ABF面积的最小值为 ．

Answer 1

【答案】2
【解析】解：方法一：抛物线y2=4x焦点F（1，0）， 当直线l的斜率不存在时，此时将x=2代入抛物线C：y2=4x中，得y2=8，解得y=±2 ，
则点A，B的坐标为（2，2 ），（2，﹣2 ），
∴△ABF面积S= ×1×丨AB丨=2 ，
当直线的存在，且不为0，设直线AB：y=k（x﹣2）．
A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）（y1＞0，y2＜0），
联立 ，消去y，得k2x2﹣（4k2+4）x+4k2=0，且△=32k2+16＞0，
则由韦达定理，x1+x2= ，x1x2=4，y1+y2= ，y1y2=﹣8，
∴△ABF面积S= ×丨PF丨×丨y1﹣y2丨= ×1× = × ＞2 ，
综上可知：则△ABF面积的最小值2 ，
所以答案是：2 ．
方法二：抛物线y2=4x焦点F（1，0），
设直线AB：x=my+2，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）（y1＞0，y2＜0），
，整理得：y2﹣4my﹣8=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣8，
∴△ABF面积S= ×丨PF丨×丨y1﹣y2丨= ×1× ≥ ×4 =2 ，
当m=0时，取最小值，最小值为2 ，
∴△ABF面积的最小值2 ，
所以答案是：2 ．