Question

【题目】已知函数．

（1）求函数的极值；

（2）设函数．若存在区间，使得函数在上的值域为，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) 极小值为，没有极大值．(2)

【解析】

（1）根据题意，先对函数进行求导，解出的根，讨论方程的解的左右两侧的符号，确定极值点，从而求解出结果。

（2）根据题意，将其转化为在上至少有两个不同的正根，再利用导数求出的取值范围。

解：（1）定义域为，，

时，，时，，

∴在上是减函数，在上是增函数，

∴的极小值为，没有极大值．

（2），

则，令，

则．

当时，，（即）为增函数，

又，

所以在区间上递增．

因为在上的值域是，

所以，，，

则在上至少有两个不同的正根．

，令，

求导得．

令，则，

所以在上递增，，，

当时，，∴，

当时，，∴，

所以在上递减，在上递增，

所以，所以．