Question

【题目】已知点 ，点P是圆 上的任意一点，设Q为该圆的圆心，并且线段PA的垂直平分线与直线PQ交于点E．
（1）求点E的轨迹方程；
（2）已知M，N两点的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），点T是直线x=4上的一个动点，且直线TM，TN分别交（1）中点E的轨迹于C，D两点（M，N，C，D四点互不相同），证明：直线CD恒过一定点，并求出该定点坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵|EA|+|QE|=|EQ|+|PE|=4，且|QA|=2 ＜4，

∴点E的轨迹是以A，Q为焦点的椭圆，

设椭圆方程为 =1，则2a=4，c= ，∴a=2，b= =1．

所以点E的轨迹方程为：

（2）解：依题意设直线CD的方程为：x=my+n，

代入椭圆方程x2+4y2=4得：（4+m2）y2+2mny+（n2﹣4）=0

设C（x1，y1），D（x2，y2），则 ， ．

∵直线TM方程为 ，直线TN方程为 ，

由题知TM，TN的交点T的横坐标为4，∴ ，即3y1（x2﹣2）=y2（x1+2），

即：3y1（my2+n﹣2）=y2（my1+n+2），整理得：2my1y2=（n+2）y2﹣3（n﹣2）y1，

∴

化简可得： ．

∵当m，y1变化时，上式恒成立，∴n=1，

∴直线CD恒过一定点（1，0）

【解析】（1）利用椭圆的定义即可得出E的轨迹方程；（2）设CD方程x=my+n，代入椭圆方程消元，得出C，D坐标的关系，求出TM，TN的方程，根据交点横坐标为4得出恒等式，从而得出n的值，即得出直线CD的定点坐标．