Question

【题目】已知椭圆： 的离心率为，且过点， ， 是椭圆上异于长轴端点的两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线： ，且，垂足为， ，垂足为，若，且的面积是面积的5倍，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)3.

【解析】试题分析：

(1)结合题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组可得椭圆的方程是；

(2)将三角形的面积公式进行整理变形，然后联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理得到面积函数，换元之后结合对勾函数的性质可得面积的最大值是3.

试题解析：

（1）依题意解得

故椭圆的方程为.

（2）设直线与轴相交于点 ， ，

由于且，

得， （舍去）或，

即直线经过点，

设， ， 的直线方程为： ，

由即，

， ，

，

令，所以，

因为，所以在上单调递增，所以在上单调递增，

所以，所以（当且仅当，即时“”成立），

故的最大值为3.