Question

【题目】如图所示，菱形与正方形所在平面相交于.

（1）求作平面与平面的交线，并说明理由；

（2）若与垂直且相等，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）过点作的平行线，理由见解析；（2）.

【解析】

（1）过点作的平行线，然后证明与平行，证明四边形为平行四边形即可；

（2）取的中点，以其为坐标原点，建立空间直角坐标系，用向量坐标法求解即可.

解：（1）过点作的平行线即可，下面予以证明.

由已知易得，和都与平行且相等，即与平行且相等.

所以四边形是平行四边形，于是.

又平面，且平面，平面.

又平面，且平面，.

（2）由，且，得平面.

由可得，是正三角形.

取的中点，则.

建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则，，，.

，，.

设平面的一个法向量

，即，

令，则，

得平面的一个法向量

设平面的一个法向量

，即，

令，则，

得平面的一个法向量.

所以.

故二面角余弦值为.