Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的极值点的个数；

（2）设函数，，为曲线上任意两个不同的点，设直线的斜率为，若恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时，极值点的个数为0；当时，的极值点的个数为1；当或时，的极值点个数为2.

（2）

【解析】

（1）函数求导得的根，对根进行讨论得到函数单调区间从而求得极值.

（2）令，求出.等价转换得，构造新函数求导转化为不等式恒成立问题求解.

解：（1）函数的定义域为，

.

令，得或.

①当，即时，

在和上，，在上，，当时，取得极大值，当时，取得极小值，故有两个极值点；

②当，即时，

在和上，，在上，，同上可知有两个极值点；

③当，即时，

，在上单调递增，无极值点；

④当，即时，

在上，，在上，，当时，取得极小值，无极大值，故只有一个极值点.

综上，当时，极值点的个数为0；当时，的极值点的个数为1；当或时，的极值点个数为2.

（2）令，则，设，，，则.

不妨设，则由恒成立，可得恒成立.

令，则在上单调递增，所以在上恒成立，即恒成立.

则恒成立，即恒成立.

又，所以恒成立，则，

因为，所以，

解得，即的取值范围为.