Question

已知函数f（x）=lnax（a≠0，a∈R），g(x)=

x-1

x

．
（Ⅰ）当a=3时，解关于x的不等式：1+e^f（x）+g（x）＞0；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）（x≥1）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=1时，记h（x）=f（x）-g（x），过点（1，-1）是否存在函数y=h（x）图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）把a=3代入化简后不等式易解；
（Ⅱ）把恒成立问题转化为函数的最值来求解；
（Ⅲ）设出切点，用导数工具刻画出函数的单调性和关键点，进而得出切线的情况．

解答：解：（I）当a=3时，原不等式可化为：1+e^ln3x+

x-1

x

＞0；
等价于

1+3x+ x-1 x ＞0 3x＞0

，解得x＞

1

3

，
故解集为(

1

3

，+∞)
（Ⅱ）∵lnax≥

x-1

x

对x≥1恒成立，所以lna+lnx≥

x-1

x

⇒lna≥1-

1

x

-lnx，
令h(x)=1-

1

x

-lnx，h′(x)=

1

x2

-

1

x

≤0(x≥1)，可得h（x）在区间[1，+∞）上单调递减，
故h（x）在x=1处取到最大值，故lna≥h（1）=0，可得a=1，
故a的取值范围为：[1，+∞）
（Ⅲ）假设存在这样的切线，设切点T（x₀，lnx0-

x0-1

x0

），
∴切线方程：y+1=

x0-1

x02

(x-1)，将点T坐标代入得：lnx0-

x0-1

x0

+1=

(x0-1)2

x02

即lnx0+

3

x0

-

1

x02

-1=0，①
设g（x）=lnx+

3

x

-

1

x2

-1，则g′(x)=

(x-1)(x-2)

x3

∵x＞0，∴g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，
故g（x）_极大=g（1）=1＞0，故g（x）_极，小=g（2）=ln2+

1

4

＞0，．
又g（

1

4

）=ln

1

4

+12-6-1=-ln4-3＜0，
由g（x）在其定义域上的单调性知：g（x）=0仅在（

1

4

，1）内有且仅有一根，
方程①有且仅有一解，
故符合条件的切线有且仅有一条．

点评：本题为函数与导数的综合，涉及不等式的解法和函数恒成立问题以及切线问题，属中档题．