Question

已知函数f(x)=(m+

1

m

)lnx+

1

x

-x，（其中常数m＞0）
（1）当m=2时，求f（x）的极大值；
（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；
（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x₁，f（x₁））、Q（x₂，f（x₂）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x₁+x₂的取值范围．

Answer 1

（1）当m=2时，f(x)=

5

2

lnx+

1

x

-x
f′(x)=

5

2x

-

1

x2

-1=-

(x-2)(2x-1)

2x2

（x＞0）
令f'（x）＜0，可得0＜x＜

1

2

或x＞2；令f'（x）＞0，可得

1

2

＜x＜2，
∴f（x）在(0，  

1

2

)和（2，+∞）上单调递减，在(

1

2

，  2)单调递减             
故f(x)极大=f(2)=

5

2

ln2-

3

2

（2）f′(x)=

m+ 1 m

x

-

1

x2

-1=-

x2-(m+ 1 m )x+1

x2

=-

(x-m)(x- 1 m )

x2

（x＞0，m＞0）
①当0＜m＜1时，则

1

m

＞1，故x∈（0，m）∪(

1

m

，  1)时，f′（x）＜0；x∈（m，

1

m

）时，f'（x）＞0
此时f（x）在（0，m），(

1

m

，  1)上单调递减，在（m，

1

m

）单调递增；           
②当m=1时，则

1

m

=1，故x∈（0，1），有f′(x)=-

(x-1)2

x2

＜0恒成立，
此时f（x）在（0，1）上单调递减；                  
③当m＞1时，则0＜

1

m

＜1，
故x∈(0，  

1

m

)∪（m，1）时，f'（x）＜0；x∈(

1

m

，  m)时，f'（x）＞0
此时f（x）在(0，  

1

m

)，（m，1）上单调递减，在(

1

m

，  m)单调递增       
（3）由题意，可得f′（x₁）=f′（x₂）（x₁，x₂＞0，且x₁≠x₂）
即 

m+ 1 m

x1

-

1

x12

-1=

m+ 1 m

x2

-

1

x22

-1?x1+x2=(m+

1

m

)x1x2
∵x₁≠x₂，由不等式性质可得x1x2＜(

x1+x2

2

)2恒成立，又x₁，x₂，m＞0
∴x1+x2＜(m+

1

m

)(

x1+x2

2

)2?x1+x2＞

4

m+ 1 m

对m∈[3，+∞）恒成立      
令g(m)=m+

1

m

 (m≥3)，则g′(m)=1-

1

m2

=

(m+1)(m-1)

m2

＞0对m∈[3，+∞）恒成立
∴g（m）在[3，+∞）上单调递增，∴g(m)≥g(3)=

10

3

故

4

m+ 1 m

≤

4

g(3)

=

6

5

从而“x1+x2＞

4

m+ 1 m

对m∈[3，+∞）恒成立”等价于“x1+x2＞

4

g(3)

=

6

5

”
∴x₁+x₂的取值范围为(

6

5

，  +∞)