Question

己知函数f（x）=（mx+n）e^-x在x=1处取得极值e^-1
（I ）求函数f（x）的解析式，并求f（x）的单调区间；
（II ）当．x∈（a，+∞）时，f（2x-a）+f（a）＞2f（x），求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出函数的导函数，由函数f（x）=（mx+n）e^-x在x=1处取得极值e^-1，得到f（1）=e^-1，f′（1）=0，联立后求得m和n的值，则函数解析式可求，代入导函数后由导函数大于0和导函数小于0求得原函数的单调区间；
（Ⅱ）构造辅助函数g（x）=f（2x-a）+f（a）-2f（x），求导后分析f^′（x）的单调性，然后对a分类讨论，根据a的范围得到g^′（x）的符号并判断g（x）的单调性，由单调性得到a的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由f（x）=（mx+n）e^-x，得
f′（x）=-（mx+n-m）e^-x．
依题意，f（1）=e^-1，f′（1）=0，即
，解得m=1，n=0．
所以f（x）=xe^-x．
f′（x）=-（x-1）e^-x．
当x∈（-∞，1）时，f′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0．
所以，函数f（x）在（-∞，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减；
（Ⅱ）设g（x）=f（2x-a）+f（a）-2f（x），则g′（x）=2[f′（2x-a）-f′（x）]．
设h（x）=f′（x）=-（x-1）e^-x，则h′（x）=（x-2）e^-x．
当x∈（-∞，2）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（2，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．
（1）若a≥2，则当x∈（a，+∞）时，2x-a＞x，h（2x-a）＞h（x），即f′（2x-a）＞2f′（x），
所以g′（x）＞0，g（x）在（a，+∞）单调递增，此时g（x）＞g（a）=0，
即f（2x-a）+f（a）-2f（x）＞0．
（2）若a＜2，则当x∈（a，）时，2x-a＞x，h（2x-a）＜h（x），即f′（2x-a）＜2f′（x），
所以g′（x）＜0，g（x）在（a，2）单调递减，此时g（x）＜g（a）=0．
综上，a的取值范围是[2，+∞）．
点评：本题考查了利用导数研究函数的极值，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了函数构造法和分类讨论的数学思想方法，属中档题．