Question

【题目】已知(e为自然对数的底数，e=2.71828……)，函数图象关于直线对称，函数的最小值为m．

(I)求曲线的切线方程；

(Ⅱ)求证：；

(III)求函数的最小值．

Answer 1

【答案】(I)(Ⅱ)见解析(III)

【解析】

(I)由题意可知 ,再利用导数的几何意义求切线方程. (Ⅱ) 令，求出函数的最小值，再根据得到 . (III)先利用导数求得，再证明，所以.

(I)由题意可知

，所以，所以切线方程为 ，

(Ⅱ)令

，因为，，又因为在上单增

所以存在唯一的，使得，即 ，

当，所以单减，同理在单增，

所以，

因为，所以

所以因为，所以

(III)因为,，所以

因为 ，所以存在唯一的，使得

，即

在单减， 在单增

所以

因为 所以，

所以

令，所以

因为

所以 由，可得，所以

所以，，所以，即，

所以