Question

【题目】已知椭圆（）的一个焦点是， 为坐标原点，且椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，过点的直线交椭圆于点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆上一点，且满足，当，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析：根据c=1,短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，得出a,b，写出椭圆的方程，设AB的方程，联立方程组，代入整理，利用 设而不求思想，借助根与系数关系解题，根据向量所提供的坐标关系结合根与系数关系，依据题目所给的向量差的模小于，解出的范围 。

试题解析：

（Ⅰ）设为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，

所以， ， ，

因此，椭圆C的方程为．

（Ⅱ）设， ， ， 的方程为，

由整理得，

由，得

，

则，

由点在椭圆上，得，

化简得，

因为，所以，

即，

即，

即，所以，

即，因为，

所以，

所以，即的取值范围为．