Question

已知函数的定义域为，设.

(1)若函数在上为单调函数，求的值；

(2)求证：；

(3)当取哪些值时，方程在上有三个不相等的实数根？并求出相应的实数的取值范围.

Answer 1

解：(1)在上递增，在上递减，

       所以又∵，故。………………………4分

 (2)因为f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，所以f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝e.

又f(－2)＝<e，所以f(x)定在x＝－2处取得最小值，

从而当t时，f(－2)<f(t)，即m<n…………………………………8分

(3)由(1)知f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，

故当t＝0或t＝1时，方程f(x)－m＝0在[－2，t]最多只有两个实数根，所以t≥2，且t∈N……………………………………………………………………………………10分

当t≥2，且t∈N时，方程f(x)－m＝0在[－2，t]上有三个不等实根，

只需满足m∈(max(f(－2)，f(1))，min(f(0)，f(t)))即可.

因为f(－2)＝，f(0)＝3，f(1)＝e，f(2)＝e²，且f(t)≥f(2)＝e²>3＝f(0)，

因而f(－2)<f(1)<f(0)<f(2)≤f(t)，

所以f(1)<m<f(0)，即e<m<3，

即实数m的取值范围是(e,3)………………………………………………13分