Question

过双曲线G：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右顶点A作斜率为1的直线m，分别与两渐近线交于B，C两点，若|AB|=2|AC|，则双曲线G的离心率为

10

或

10

3

．

Answer 1

分析：先根据条件求出直线l的方程，联立直线方程与渐近线方程分别求出点B，C的横坐标，结合条件得出C为AB的中点求出b，a间的关系，进而求出双曲线的离心率．

解答：解：由题得，双曲线的右顶点A（a，0）
所以所作斜率为1的直线l：y=x-a，
若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
联立其中一条渐近线y=-

b

a

x，则

y=x-a y=- b a x

，
解得x₂=

a2

a+b

①；
同理联立

y=x-a y= b a x

，
解得x₁=

a2

a-b

②；
又因为|AB|=2|AC|，
（i）当C是AB的中点时，则x₂=

x 1+a

2

⇒2x₂=x₁+a，
把①②代入整理得：b=3a，
∴e=

c

a

=

a2+b2

a

=

10

；
（ii）当A为BC的中点时，则根据三角形相似可以得到

a-x2

x1-x2

=

1

3

，
∴x₁+2x₂=3a，
把①②代入整理得：a=3b，
∴e=

c

a

=

a2+b2

a

=

10

3

．
综上所述，双曲线G的离心率为

10

或

10

3

．
故答案为：

10

或

10

3

．

点评：本题考题双曲线性质的综合运用，解题过程中要注意由|AC|=|BC|得到C是A，B的中点这以结论的运用．