Question

【题目】如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，

.

(1)求证： ；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】分析：(1)因为侧面底面 ， 平面平面，由底面为矩形，可得。平面。用面面垂直的性质定理可知平面。由线面垂直的性质定理可得。(2)过点不好作平面的垂线，故求点到平面的距离。利用三棱锥的体积转化来求，即。 由(1)可知边 上的高即为三棱锥的底面的高，根据题的已知条件可求高及三棱锥的体积。由（1）知，可求三角形PAD的面积。利用即可求点到平面的距离。记直线与平面所成角为，则由可求得直线与平面所成角的正弦值为.

详解：（1）证明： 侧面底面 ， 平面

又平面平面，且

平面

（2）由题易知在上的高为，所以

由（1）知平面 ，所以

由（1）知，所以

记点到平面的距离为

则

因为

所以，得记直线与平面所成角为

则

所以直线与平面所成角的正弦值为.