Question

【题目】某工厂的一台某型号机器有2种工作状态：正常状态和故障状态.若机器处于故障状态，则停机检修.为了检查机器工作状态是否正常，工厂随机统计了该机器以往正常工作状态下生产的1000个产品的质量指标值，得出如图1所示频率分布直方图.由统计结果可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为这1000个产品的质量指标值的平均数，近似为这1000个产品的质量指标值的方差（同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.若产品的质量指标值全部在之内，就认为机器处于正常状态，否则，认为机器处于故障状态.

（1）下面是检验员在一天内从该机器生产的产品中随机抽取10件测得的质量指标值：

29 45 55 63 67 73 78 87 93 113

请判断该机器是否出现故障？

（2）若机器出现故障，有2种检修方案可供选择：

方案一：加急检修，检修公司会在当天排除故障，费用为700元；

方案二：常规检修，检修公司会在七天内的任意一天来排除故障，费用为200元.

现需决策在机器出现故障时，该工厂选择何种方案进行检修，为此搜集检修公司对该型号机器近100单常规检修在第i（，2，…，7）天检修的单数，得到如图2所示柱状图，将第i天常规检修单数的频率代替概率.已知该机器正常工作一天可收益200元，故障机器检修当天不工作，若机器出现故障，该选择哪种检修方案？

附：，，.

Answer 1

【答案】（1）可判断该机器处于故障状态；（2）选择加急检修更为适合

【解析】

（1）由图1可估计1000个产品的质量指标值的平均数和方差，所以，，从而得到产品的质量指标值允许落在的范围为（28.87，111.13），由于抽取产品质量指标值出现了113，不在（28.87，111.13）之内，故机器处于故障状态；
（2）方案一：工厂需要支付检修费和损失收益之和为700＋200＝900元；方案二：设损失收益为元，求出的可能值，然后由图2可得出每个的取值所对应的概率，求出数学期望，可得工厂需要支付检修费和损失收益之和，与900对比，即可得出结论.

（1）由图1可估计1000个产品质量指标值的平均数和方差分别为

，

，

依题意知，，，

所以，，

所以产品质量指标值允许落在的范围为，

又抽取产品质量指标值出现了113，不在之内，

故可判断该机器处于故障状态；

（2）方案一：若安排加急检修，工厂需要支付检修费和损失收益之和为元；

方案二：若安排常规检修，工厂需要要支付检修费为200元，

设损失收益为X元，则X的可能取值为200，400，600，800，1000，1200，1400，

X的分布列为：

X	200	400	600	800	1000	1200	1400
P	0.07	0.18	0.25	0.20	0.15	0.12	0.03

元；

故需要支付检修费和损失收益之和为元，

因为，所以当机器出现故障，选择加急检修更为适合.