Question

【题目】对于无穷数列，“若存在，必有”，则称数列具有性质.

（1）若数列满足，判断数列是否具有性质？是否具有性质？

（2）对于无穷数列，设，求证：若数列具有性质，则必为有限集；

（3）已知是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，，使得，，，…，，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；

（2）见解析；

（3）见解析.

【解析】

（1）根据题中所给的条件，利用定义判断可得数列不具有性质，具有性质；

（2）根据数列具有性质，得到数列元素个数，从而证得结果；

（3）依题意，数列是各项为正数的数列，且既具有性质，又具有性质，可证得存在整数，使得是等差数列.

（1）因为，

，但，所以数列不具有性质，

同理可得数列具有性质；

（2）因为数列具有性质，

所以一定存在一组最小的且，满足，即，

由性质的含义可得，，，，

所以数列中，从第项开始的各项呈现周期性规律：

为一个周期中的各项，

所以数列中最多有个不同的项，

所以最多有个元素，即为有限集；

（3）因为数列具有性质，又具有性质，

所以存在，使得，

其中分别是满足上述关系式的最小的正整数，

由性质的含义可得，

若，则取，可得，

若，则取，可得，

记，则对于，

有，显然，

由性质的含义可得：，

所以

，

所以，

又满足的最小的正整数，

所以，，

所以，

所以，

取，所以，若是偶数，则，

若是奇数，

则，

所以，，

所以是公差为1的等差数列.