Question

已知圆C：x²+y²=4，直线l：x+y=b．
（1）b为何值时直线l和圆相切，并求出切点坐标；
（2）b为何值时直线l和圆相交，并求出弦长．

Answer 1

分析：联立圆C与直线l的方程组成方程组，消去y后得到关于x的一元二次方程，表示出根的判别式，
（1）当直线l与圆相切时，根的判别式等于0，求出此时b的值，此时由直线l的方程及两直线垂直时斜率满足的关系求出与切线方程垂直的直线方程的斜率，又根据垂径定理得到该直线过原点，得到切点在直线y=x上，求出此时切点的坐标即可；
（2）当直线l与圆相交时，根的判别式大于0，列出关于b的不等式，求出不等式的解集得到b的范围，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，即为弦心距，再由圆的半径，利用勾股定理及垂径定理求出弦长的一半，可得出此时的弦长．

解答：解：联立圆与直线的方程得：

x+y=b x2+y2=4

，
消去y得：2x²-2bx+（b²-4）=0，
∴△=-4b²+32，
（1）当△=0，即b=±2

2

时，直线l和圆相切，设切点为A，
又直线l方程为x+y=b的斜率为-1，
∴过A于切线方程垂直直线方程的斜率为1，又该直线过原点，
∴切点一定在直线y=x上，
∴切点坐标为(

2

，

2

)或(-

2

，-

2

)；
（2）当△＞0，可得b²＜8，即-2

2

＜b＜2

2

时，直线l和圆相交，
∵圆心到直线的距离为

|b|

2

，又r=2，
则所求弦长为2

22-( |b| 2 )2

=

16-2b2

．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：一元二次方程根与系数的关系，两直线垂直时斜率满足的关系，点到直线的距离公式，垂径定理，以及勾股定理，是一道中档题．