Question

【题目】已知函数，.

（1）设函数，若，求的极值；

（2）设函数，若的图象与的图象有，两个不同的交点，证明：.

Answer 1

【答案】（1）极大值为，极小值为；（2）证明见解析.

【解析】

（1）先求函数的导函数，再利用导数判断函数的单调性，然后求极值即可；

（2）函数的图象与的图象有两个不同的交点，等价于关于的方程，即有两个不同的根，再构造函数

解：（1）因为，

所以，

.

令，得，

所以在，上单调递增；

令，得，

所以在上单调递减.

故的极大值为，

故的极小值为.

（2）证明：，

因为函数的图象与的图象有两个不同的交点，

所以关于的方程，即有两个不同的根.

由题知①，②，

①+②得③，

②-①得④.

由③，④得，

不妨设，记.

令，则，

所以在上单调递增，

所以,

则，即，

所以.

因为

所以，

即.

令，

则在上单调递增.

又，

所以，

即，

所以.

两边同时取对数可得，

得证.