Question

如图空间四边形ABCD中，AC=4，BD=2，E，F分别是BC和AD的中点．
（1）若EF=

6

，求AC与BD所成角的余弦值．
（2）若AC=AB=AD，BD=BC=CD，求三棱锥A-BCD的侧面积．

Answer 1

分析：（1）取CD中点G，连接EG，FG，由题设知∠EGF是AC与BD所成角或所成角的补角，再由余弦定理能求出AC与BD所成角的余弦值．
（2）由AC=AB=AD=4，BD=BC=CD=2，知△ABC≌△ACD≌△ABD，故三棱锥A-BCD的侧面积S=3S_△ABC，由此能求出结果．

解答：解：（1）取CD中点G，连接EG，FG，
∵AC=4，BD=2，E，F分别是BC和AD的中点，
∴EG∥BD，且EG=

1

2

BD=1，
FG∥AC，且FG=

1

2

AC=2，
∴∠EGF是AC与BD所成角或所成角的补角，
设AC与BD所成角为θ，
∵EF=

6

，
∴由余弦定理，得cosθ=|cos∠EGF|=|

1+4-6

2×1×2

|=

1

4

．
故AC与BD所成角的余弦值为

1

4

．
（2）∵AC=AB=AD=4，BD=BC=CD=2，
∴△ABC≌△ACD≌△ABD，
∵AB=AC=4，BC=2，∴△ABC中BC边上的高h=

15

，
∴三棱锥A-BCD的侧面积S=3S_△ABC=3×

1

2

×2×

15

=3

15

．

点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查三棱锥的侧面积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意余弦定理的合理运用．