Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

3

=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，过椭圆的右焦点作一条直线l交椭圆于点P、Q，则△F₁PQ内切圆面积的最大值是（　　）

• A．

  25

  16

  π
• B．

  9

  25

  π
• C．

  16

  25

  π
• D．

  9

  16

  π

Answer 1

分析：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F₁PQ的周长是定值8，所以只需求出△F₁PQ面积的最大值．故可求△F₁PQ内切圆面积的最大值．

解答：解：因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2倍，且△F₁PQ的周长是定值8，所以只需求出△F₁PQ面积的最大值．
设直线l方程为x=my+1，与椭圆方程联立得（3m²+4）y²+6my-9=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y1+y2=-

6m

3m2+4

，y1y2=-

9

3m2+4

，
于是S△F1PQ=

1

2

|F1F2|•|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=12

m2+1 (3m2+4)2

．
因为

m2+1

(3m2+4)2

=

1

9m2+15+ 1 m2+1

=

1

9m2+9+ 1 m2+1 +6

≤

1

16

，
∴S△F1PQ≤ 3
所以内切圆半径r=

2S△F1PQ

8

≤

3

4

，
因此其面积最大值是

9

16

π．
故选D．

点评：本题以椭圆为载体，考查直线与椭圆的位置关系，考查面积的最值，解题的关键是转化为求△F₁PQ面积的最大值．