Question

【题目】如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，平面PAC垂直圆O所在平面，直线PC与圆O所在平面所成角为60°，PA⊥PC．

（1）证明：AP⊥平面PBC

（2）求二面角P—AB一C的余弦值

Answer 1

【答案】(1)见解析.(2) .

【解析】

（1）由已知条件得BC⊥平面PAC，可得又，由此能证明平面．

（2）法一：过作于，由平面平面，知∠HCP为直线与圆所在平面所成角，可得，由此能得到为二面角的平面角.利用平面几何知识求解即可．

法二：利用空间向量法求解线面角.

（1）由已知可知，又平面平面圆，平面平面圆，

∴平面，∴，

又，，平面，平面，

∴平面.

（2）法一：过作于，由于平面平面，则平面，

则为直线与圆所在平面所成角，所以.

过作于，连结，则，

故为二面角的平面角.

由已知，，

在中，，

由得，在中，，

故，故，

即二面角的余弦值为.

法二：过作于，则平面，过作交于，

以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.

则，，，，

从而，，

设平面的法向量，

则得，

令，从而，

而平面的法向量为，

故，

即二面角的余弦值为.