Question

（2011•丰台区二模）已知函数f(x)=

1

2

x2+

a

x

，  (a≠0)．
（1）当x=1时函数y=f（x）取得极小值，求a的值；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），求出导函数f′(x)=x-

a

x2

，利用x=1时函数y=f（x）取得极小值，可得f'（1）=0，从而可知a=1．再验证x=1是函数y=f（x）的极小值点即可． 
（2）f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），求导函数f′(x)=x-

a

x2

=

x3-a

x2

，令f'（x）=0，得x=

3	a

．分a＜0，a＞0讨论，从而确定，函数y=f（x）的单调递减区间与单调递增区间．

解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），…（1分）f′(x)=x-

a

x2

．                                                    …（3分）
∵x=1时函数y=f（x）取得极小值，
∴f'（1）=0．                                                        …（4分）
∴a=1．                                                           …（5分）
当a=1时，在（0，1）内f'（x）＜0，在（1，+∞）内f'（x）＞0，…（6分）
∴x=1是函数y=f（x）的极小值点．
∴a=1有意义．                                                     …（7分）
（2）f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
f′(x)=x-

a

x2

=

x3-a

x2

．
令f'（x）=0，得x=

3	a

．                                            …（9分）
①当a＜0时，

x	(-∞， 3 a )	3 a	( 3 a ，0)	（0，+∞）
f'（x）	-	0	+	+
f（x）	↘	极小值	↗	↗

∴当a＜0时，函数y=f（x）的单调递减区间为(-∞，

3	a

)，单调递增区间为(

3	a

，0)，（0，+∞）；
②当a＞0时，

x	（-∞，0）	(0， 3 a )	3 a	( 3 a ，+∞)
f'（x）	-	-	0	+
f（x）	↘	↘	极小值	↗

∴当a＞0时，函数y=f（x）的单调递减区间为（-∞，0），(0，

3	a

)，单调递增区间为(

3	a

，+∞)．…（14分）

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值的求法，同时考查利用导数求函数的单调区间，解题时应注意分类讨论．