Question

【题目】已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，虚轴长为2.

（1）求双曲线的标准方程；

（2）若直线与双曲线相交于两点，（ 均异于左、右顶点），且以为直径的圆过双曲线的左顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

Answer 1

【答案】(1) (2) 证明见解析，定点坐标为

【解析】试题分析：（1）求双曲线标准方程，一般方法为待定系数法，即根据题意列出两个独立条件： ，解方程组得（2）以为直径的圆过双曲线的左顶点,等价于,根据向量数量积得，结合直线方程得，利用直线方程与双曲线方程联立方程组，消y得，再利用韦达定理代入等式整理得，因此或.逐一代入得当时, 的方程为,直线过定点.

试题解析：（1）设双曲线的标准方程为, 由已知得又,解得,所以双曲线的标准方程为.

（2）设,联立,得,有,,以为直径的圆过双曲线的左顶点,,即,,解得或.当时, 的方程为,直线过定点,与已知矛盾；当时, 的方程为,直线过定点,经检验符合已知条件, 所以直线过定点,定点坐标为.