Question

已知直线x=-1的方向向量为

a

及定点F（1，0），动点M，N，G满足

MN

-

a

=0，

MN

+

MF

=2

MG

，

MG

•（

MN

-

MF

）=0，其中点N在直线l上．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同动点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，若α+β=θ为定值（0＜θ＜π），试问直线AB是否恒过定点，若AB恒过定点，请求出该定点的坐标，若AB不恒过定点，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用已知条件满足的向量关系得到MN⊥l|MF|=|MN|，利用抛物线的定义判断出M的轨迹是抛物线，根据抛物线方程与焦点坐标的关系写出抛物线的方程．
（2）设出直线AB的方程，将直线方程与抛物线方程联立利用韦达定理得到交点坐标满足的关系，对θ分类讨论，利用两角和的正切公式及直线斜率的公式将α+β=θ转化为坐标关系，表示出直线方程中的截距b，得到直线方程恒过的定点．

解答：解：（1）由题意知：MN⊥l|MF|=|MN|，
由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，
其中F（1，0）为焦点，x=-1为准线，
所以轨迹方程为y²=4x；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意得x₁≠x₂（否则α+β=π）且x₁•x₂≠0，
所以AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，
显然x1=

y 2 1

4

，x2=

y 2 2

4

，
联立

y=kx+b y2=4x

，消去x得到：y2-

4

k

y+

4b

k

=0，
由根与系数关系得：

y1+y2= 4 k y1•y2= 4b k

①
1）当θ=

π

2

时，即α+β=

π

2

时，tanα•tanβ=1，
所以

y1

x1

•

y2

x2

=1即x1x2-y1y2=0，

y 2 1 y 2 2

16

-

y

2 1

y

2 2

=0
所以y₁y₂=16，
由①知：

4b

k

=16，
所以b=4k因此直线AB的方程可表示为y=kx+4k，
∴直线AB恒过定点（-4，0）
2）当θ≠

π

2

时，由α+β=θ，得tanθ=tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

4(y1+y2)

y1y2-16

，
将①式代入上式整理化简可得：tanθ=

4

b-4k

，所以b=

4

tanθ

+4k，
此时，直线AB的方程可表示为y=kx+

4

tanθ

+4k，
∴直线AB恒过定点(-4，

4

tanθ

)
∴当θ=

π

2

时，AB恒过定点（-4，0），
当θ≠

π

2

时，．AB恒过定点(-4，

4

tanθ

)

点评：求圆锥曲线的方程问题，一般利用待定系数法，注意椭圆中的三个参数的关系与双曲线中的三个参数关系的区别；解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，利用韦达定理找突破口．