Question

【题目】已知函数（）.

（1）证明：当时，在上是增函数；

（2）是否存在实数，只有唯一正数，对任意正数，使不等式恒成立？若存在，求出这样的；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）存在实数，只有唯一值，符合题意.

【解析】

（1）将在上是增函数转化为在上恒成立，构造新函数利用导数求最值即可证明.

（2）将恒成立转化为恒成立，利用导数研究其单调性及最值，找到符合题意的正数的值.

证明：（1）

令

则，因此是增函数

故，因此是增函数

（2）取，可知，

令

由得

①当时，可得在递减，是递增

令

因为存在唯一的正数，使得

故只能

得

在上递减，在上递增

得，此时只有唯一值

②当时，为增函数，得，故

当时，满足的不唯一

当时，满足的只能，

但时满足且

因此时，值不唯一

故存在实数，只有唯一值，

当时恒有