Question

【题目】某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为14万元/辆，年销售量为辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为(0＜＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.6，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．

（1）若年销售量增加的比例为0.5，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例应在什么范围内？

（2）若年销售量关于的函数为为常数），则当为何值时，本年度的年利润最大？

Answer 1

【答案】（1）；

（2）

【解析】

（1）首先表示出本年度的年利润，根据原题中已知的年利润=（每辆车的出厂价-每辆车的投入成本）×年销售量可表示出来．然后列出不等式得到x的取值范围；

（2）根据题意，要使本年度的年利润最大，首先表示出本年度年利润的函数表达式，然后求出此函数的导数为零时x的值，由此判断出函数的单调性，可知此时的x值对应的函数值是函数的最大值．

解：（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为，

出厂价为，年销售量为，

则本年度的利润为：

由

得，即所求的范围为；

（2）本年度的利润为

，

则，

由，解得或，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

当时，本年度的年利润最大.