Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性；

（3）当时，若方程有两个不相等的实数根，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，在上是减函数；当时，在上是增函数；（3）证明见解析.

【解析】

（1）当时，，求得其导函数 ，，可求得函数的图象在处的切线方程；

（2）由已知得，得出导函数，并得出导函数取得正负的区间，可得出函数的单调性；

（3）当时，，，由（2）得的单调区间，以当方程有两个不相等的实数根，不妨设，且有，，构造函数，分析其导函数的正负得出函数的单调性，得出其最值，所证的不等式可得证.

（1）当时，，

所以 ，，

所以函数的图象在处的切线方程为，即；

（2）由已知得，，令，得，

所以当时，，当时，，

所以在上是减函数，在上是增函数；

（3）当时，，，由（2）得在上单调递减，在单调递增，

所以，且时，，当时，，，

所以当方程有两个不相等的实数根，不妨设，且有，，

构造函数，则，

当时，所以，

在上单调递减，且，，

由 ，在上单调递增，

.

所以.