Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(a>b>0)的离心率为，短轴长是2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N.设l1的斜率为k(k≠0)，△DMN的面积为S，当，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由e＝，2b＝2，a2＝b2＋c2构造方程组，解出a，b即可得椭圆方程；(2)设l1的方程为y＝kx－1代入椭圆方程，求出M的坐标，可得|DM|，用代替k，可得|DN|，求出△DMN的面积S，可得，解不等式>可得k的取值范围．

(1)设椭圆C的半焦距为c，则由题意得又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，

∴椭圆方程为＋y2＝1.

(2)由(1)知，椭圆C的方程为＋y2＝1，

所以椭圆C与y轴负半轴交点为D(0，－1)．

因为l1的斜率存在，所以设l1的方程为y＝kx－1.

代入＋y2＝1，得M，

从而|DM|＝＝.

用－代替k得|DN|＝.

所以△DMN的面积S＝·×＝.

则＝，

因为>，即>，

整理得4k4－k2－14<0，解得－<k2<2，

所以0<k2<2，即－<k<0或0<k<.

从而k的取值范围为(－，0)∪(0，)．