Question

【题目】已知函数（为自然对数的底，，为常数且）

（1）当时，讨论函数在区间上的单调性；

（2）当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）时，求得，当时，恒有．当时，由，得，由，得，再由和分类讨论，能求出结果．

（2）当时，求得，推导出，再由和进行分类讨论经，利用导数的性质能求出足条件的实数的取值范围．

（1）由题知时，，， ，

①当时，得函数在上单调递减；

②当时，由，得，由，得，

Ⅰ.当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；

Ⅱ.当时，函数在区间上单调递增．

（2）时，，

则，

由（1）知，函数在区间上单调递增，

所以当时，，即，

∴．

①当时，在区间上恒成立，即在上单调递增，

∴（合题意）．

②当时，

由，得，且在上单调递增，

又，，，，

故在上存在唯一的零点，当时，，

即在上递减，此时，知在上递减，

此时与已知矛盾（不合题意），

综上：满足条件的实数的取值范围是．