Question

【题目】长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，BC= ，E为CC1的中点．

（1）求证：平面A1BE⊥平面B1CD；
（2）平面A1BE与底面A1B1C1D1所成的锐二面角的大小为θ，当 时，求θ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵CD⊥平面BCC1B1，

∴CD⊥BE，

∵E为CC1的中点，

∴△B1BC∽△BCE，

∴∠EBC=∠BB1C，

∴∠EBB1+∠BB1C=90°，

∴BE⊥B1C，

∴B1C∩CD=C，

∴BE⊥平面B1CD，

∵BE平面A1BE，

∴平面A1BE⊥平面B1CD；

（2）解：以D为坐标原点，建立坐标系，设AB=a，则

A1（ ，0，2），B（ ，a，0），E（0，a，1），

∴ =（0，a，﹣2）， =（﹣ ，a，﹣1），

设平面A1BE的法向量为 =（x，y，z），则 ，

∴可取 =（ ，1， ）

∵底面A1B1C1D1的法向量为 =（0，0，1），

∴cosθ= = ，

∵ ，

∴ ，

∴ ＜ ＜2，

∴ ，

∴ ．

【解析】（1）证明：平面A1BE⊥平面B1CD，只需要证明BE⊥平面B1CD即可；（2）以D为坐标原点，建立坐标系，设AB=a，求出平面A1BE的法向量，底面A1B1C1D1的法向量，利用向量的夹角公式，结合 ，即可求θ的取值范围．
【考点精析】通过灵活运用平面与平面垂直的判定，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直即可以解答此题．